1. pergel ve cetvel kullanarak açıyı üç eşit parçaya bölmek

yabancı literatürde angle trisection olarak bilinen bir problem bu. problem, bir açıyı 3 eş parçaya bölmenin imkansız olması ile ilgili değildir. problem, bir açıyı pergel ve cetvel yardımıyla 3 eş parçaya bölmenin imkansız olması ile ilgilidir.

diyelim ki bir cetvel ve bir pergeliniz var. bu iki araç yardımıyla bir açı oluşturdunuz ve açıyı iki eş parçaya bölmek istiyorsunuz. bu işlemi üç adımda kolaylıkla yapabilirsiniz.

1. adım: pergelin ucu açıyı oluşturan doğru parçalarının kesiştiği noktaya getirilir ve açıyı oluşturan doğru parçalarını kesecek bir yay çizilir.

2. adım: pergelin ucu çizilen yayın doğru parçalarını kestiği noktalara getirilir ve her iki noktadan da kesişim yerlerinin ortasına iki farklı yay çizilir.

3. adım: cetvel yardımıyla doğru parçalarının kesiştiği nokta ile ikinci adımda çizilen yayların kesiştiği noktanın üzerinden geçecek bir doğru çizilir.

böylelikle görselden de görülebileceği üzere çizilen doğru açıyı iki eş parçaya bölmüş olur:

ancak pergel ve cetvel yardımıyla bu işlemde yapıldığı gibi bir doğru parçasını üç eşit parçaya bölmek imkansızdır.

bu olayın imkansızlığı fransız matematikçi pierre wantzel tarafından 1837 yılında kanıtlanmıştır.

kaynak ve daha fazlası: basit okuma, kanıt

2. daireyi kareye dönüştürmek 

yabancı literatürde squaring the circle olarak geçen bir matematik problemidir bu.

o kadar parlak zihin o kadar uzun süre boyunca bunu yapmayı deneyip başaramamış ki, matematikten tamamen ilgisiz konularda bile imkansız görünen işler için kullanılan bir kalıp haline gelmiştir. mesela ingilizler imkansız görünen görevler için "squaring the circle" derken fransızlar aynı kalıbı "c'est la quadrature du cercle" şeklinde kullanırlar.

problemde yapılmak istenen şey aslında basit görünen bir iştir. kişinin tek yapması gereken bir daire çizmek ve bu dairenin alanını hesaplayarak bu alana eşit alanı olan başka bir kare çizmektir.

ancak daire dediğimiz geometrik cismin pi ismini verdiğimiz aşkın sayı ile bağlantılı doğası bu işi imkansız kılar.

diyelim ki bir üçgeni kareye çevirmek istiyoruz. bu durumda yapmamız gereken şey üçgenin tabanına indirilen dikme ile taban uzunluğunun çarpımını ikiye bölerek alanını hesaplamak ve ortaya çıkan sayının kökünü almak.

herhangi bir kenarı üçgenden alınan kök uzunluğunda olan bir karenin alanı çizdiğimiz üçgenin alanı ile eşit olacaktır.

ayrıca bu işlem pergel yardımı ile görseldeki yöntem kullanılarak da yapılabilir:

ancak bu durum daire için geçerli değildir. çünkü eğer bir dairenin alanına eşit alana sahip bir kare çizmek istiyorsak, daireyi doğrusallaştırmamız ve ortaya çıkan doğrunun uzunluğunu tam olarak bilmemiz gerekir.

bir dairenin çevresini oluşturan çizgiyi doğru haline getirdiğimizde elimize 2*pi*r şeklinde bir uzunluk çıkar. bu uzluğu kullanarak alanı daireye eşit bir kare çizmeyi deneyebiliriz ancak pi uzunluk ne demek ki?

mesela bir kişiye 3,14 tane elma vermek mümkündür ama bir kişiye pi tane elma vermek mümkün müdür? mümkün olmadığını alman matematikçi ferdinand von lindemann şu şekilde kanıtlamıştır.

bu konuda belirtmek istediğim önemli bir şey var. daireyi kareye çevirmek yalnızca öklid geometrisinde imkansızdır. gauss geometrisinde mümkündür.

3. küpü çiftlemek

yabancı literatürde doubling the cube olarak geçer ve aynı zamanda delos problemi olarak da bilinir.

amacımız kenar uzunluğunu bildiğimiz bir küpün hacmini ikiye katlayan küpün kenar uzunluğunu bulmak.

diyelim ki bir kareyi çiftlemek istiyoruz. bu karenin alanı b^2 olsun. yapmak istediğimiz şey 2(b^2) alanına sahip bir karenin kenarlarının uzunluğunu bulmak. bu işlemi yapmak oldukça basittir. herhangi bir karenin köşegeninden oluşturulacak başka bir karenin alanı, ilk karenin alanının iki katına eşit olacaktır.

ilk karenin köşegenini hesaplamak ikinci karenin kenarını hesaplamak demektir.

ancak aynı şeyi bir küp için yapmaya çalıştığımızda işler karışır. çünkü aynı daireyi kareleştirme probleminde olduğu gibi, bu problemde de karşımıza irrasyonel sayılar çıkar.

eğer x isimli bir doğru parçası ile x^3 hacmine sahip bir küp yaparsak, bu küpün iki katı hacme sahip olan küpün hacmi 2(x^3) olacaktır. 2(x^3) sayısı y^3 sayısına eşit olsun. bu durumda y^3 hacmine sahip küpün bir kenarı y sayısının üçüncü dereceden kökü olacaktır. eğer x uzunluğuna 1 dersek y uzunluğunun (2)^1/3 olacağını görürüz. tıpkı pi elma veremeyeceğimiz gibi, (2)^1/3 elma da veremeyiz.

bu problemin imkansız oluşu da 1837 yılında pierre wantzel tarafından şu şekilde kanıtlanmıştır.

4. cetvel ve pergel ile üçten fazla kenarı olan düzgün çokgen çizme

bu problem özünde açıyı bölme probleminin bir uzantısıdır.

eğer çizmek istediğimiz çokgenin kenar sayısı üçten büyük ise o çokgeni çizip çizemeyecek olmamız çokgeni çizerken açıyı üçe bölme ihtiyacımıza bağlıdır.

zamanında açıyı bölme probleminin bir çözümü olmadığı için, bu problem de matematikçilere uykusuz geceler yaşatmıştır.

Cevabında Uzlaşılamayan Bu Matematik Sorusunun Sonucu Nedir?