MIT'nin Pandemiden 10 Yıl Önce Hazırladığı Sosyal Mesafe Konulu Matematik Sorusu
mit opencourseware'in mathematics for computer science sayfasında 2010 yılına ait salgın vakası görülen bir sınıftaki oturma düzeniyle ilgili güzel bir matematik sorusu bulunmakta.
soru şu
karelerden oluşan nxn matris biçimindeki bir sınıfta öğrenciler her bir karede bir kişi olacak şekilde aşağıdaki örnekte olduğu gibi oturuyor olsun.
sınıfta bazı öğrencilerin aniden bulaşıcı bir hastalığa yakalandığını ve salgının ilerlemesi için iki şartın olduğunu varsayalım
1. hastalığa yakalanan kişi sonsuza kadar hasta olarak kalacak.
2. hasta olmayan bir öğrenci şayet iki adet hasta öğrenciye komşu oturuyorsa (çapraz komşuluk sayılmıyor) o da hastalığa yakalanacak.
sınıfta başlangıçta n'den daha az sayıda öğrenci varsa, en az 1 öğrencinin hastalıktan hiçbir zaman etkilenmeyeceğini kanıtlayınız.
soru ve cevap için lütfen: https://dspace.mit.edu/…/mit6_042js10_lec14_sol.pdf
cevap
herhangi bir hasta öğrenci kümesi için çevre'yi, yalnızca bir taraftan hastalığı bulaştıracak şekilde karenin kenarlarının sayısı olarak tanımlayalım. zaman geçtikçe çevredeki toplam kenar sayısı azalma eğilimine girecektir çünkü hasta öğrenci arasında kalan hasta olmayan öğrenciler de hasta oldukça aralarındaki kenar bariyeri de kalkacak, dolayısıyla da hastalığın etkileşim alanı eskisine oranla düşecektir.
(örneğin: iki komşu hasta arasında kalarak hastalanan öğrencinin iki tarafındaki kenarlar ortadan kalkacak ancak bu sefer diğer iki kenarı bulaşıcı olacağı için çevre'nin toplam kenar sayısı değişmeyecektir. diğer taraftan komşu üç hasta arasında kalan hasta olmayan öğrenci hastalanınca yeni bulaşıcı bir kenar kazanacak ancak komşu üç kenarını kaybedecek, bu nedenle de çevre'deki toplam kenar sayısı 2 azalacaktır.)
nxn bir matris için efektif bulaşıcı kenar sayısı 4n'dir (karenin çevresi 4n). bu nedenle hastalık bütün sınıfa, ancak ve ancak başlangıçta en az 4n sayıda öğrenci varsa bulaşacaktır. her karede de bulaşıcı 4 kenar olduğundan, sınıfta başta 4n/4=n sayıda hasta öğrenci olmalıdır.
salgın hastalıklarda, gerek dışarıya çıkmamamız gerekliliğini gözler önüne süren random walk simülasyonu gerekse de mit'in kişisel mesafe ile ilgili bu sorusu sosyal izolasyonun önemini bir kez daha gözler önüne sermekte.