0 Faktöriyel Neden 1'e Eşittir?
0 faktöriyelin 1'e eşit olması... permütasyon ve kombinasyon ile açık ve anlaşılır şekilde ispat ve izah edilebilirdir. konuya dönersek... işaret fonksiyonu gibi özel durumlarda da 0! "tanım" gereği 1 değerini verebiliriz. taban değeri sıfırdan büyük olan sayıların kuvvetleri sıfıra yaklaştığında, sayının değeri 1 e yaklaşır. örneğin hesap makinesinde bir pozitif sayının sürkeli karekökününü alırsanız sayının kuvveti sıfıra sayı ise 1 e yaklaşır.
n elemanlı bir kümenin n elemanlı 1 tane alt kümesi vardır o da kendisidir. şimdi.
*(n n)(n!/n!(n-n)! dir.
*n! sadeleşir.
* 1/(n-n)! kalır. bu değerin yukarıda yazdığımız 1 alt küme değerine eşit olması için.
n-n! değerinin 0! olması gerekir. 0! bu yüzden 1'e eşittir.
n?n olmak üzere n!=1.2.3...n şeklinde tanımlarsak, bu tanımdan 1!=1 çıkar. diğer yandan n!=n(n-1)! dir. bu eşitlikte n=1 yazılırsa: 1!=1.0! ve 1=1.0! den 0!=1 bulunur.
tanımdan uzaklaşıp yine örnekle açıklayalım
10 elemanlı bir kümenin 10 elemanlı 1 tane alt kümesi vardır. mantıksal olarak da böyledir. o halde.
*(10 10) kombinasyonunda
*10! / 10!(10-10)!
* üstteki 10! sadeleşir.
1/(10-10)! yani,
1/0! kalır. yine bunun tek kümeye eşit olması için, 0!=1 olması gerekir.
bu sefer kümeler dışında başka bir örnek verelim. permütasyon yapalım. 6 kişilik bir koltuğa 6 kişi kaç farklı şekilde oturabilir sorusunu şöyle çözebiliriz:
permütasyon yani sıralama formülümüz p(6 6)6!/(6-6)! olacaktır.
sonuç, 6!/0! yapar, bunun 6/1=720 olması, yani tanımlı bir işlem olabilmesi işimize geldiği için 0! bire eşitlenmiştir.
yine başka bir örnek vereyim
bir fotoğraf makinesiyle beş kişi fotoğraf çekilecek ama hiç kimse fotoğrafa girmemiş, boşluğu çekmişsiniz. yani 0 farklı kiyi çektiğinizde 1 farklı görüntü elde edersiniz bunu da matematik dilinden ispat edersek.
p(n, 0)n!/(n-0)! yapar. yine 0!=1'e eşit olmak zorundadır.
yine gamma fonksiyonu kullanılarak, faktöriyeller tamsayı olmayan değerler için genişletilebilir. aslında buada sorun, faktöriyel kavramının sadece o tamsayı değerinden başlayarak, bire kadar olan çarpımı olarak öğretilmesidir.
gama(x+1)xgama(x) reküransı bir pozitif n tam sayısı için göz önüne alındığında gama(n+1)=n! elde edilir. bu eşitliğin sol tarafı n=0 için gama(1) olup anlamlıdır ve hesaplanırsa 1 olarak bulunur. bu durumda eşitliğin sağ tarafında bulunan 0! ifadesini 1 olarak tanımlamak makuldur.
matematikte çarpma işlemi yaparken 0 değerinin tanımsız olması bizim bunu tanımsız olmasını istediğimiz için, 0!=1 olması da bizim onu tanımladığımız içindir. 0!! değerini tanımlarken 0!=20 de diyebilirdik. ancak sıralama, seçme, istatistik (permütasyon-kombinasyon) küme hesaplamaları yaparken sayıları parçalar hesaplama yaparken çok uğraşmış olurduk.
örneğin 0/0 ifadesini tanımlamak gereksizdir, işimize gelmez, çünkü hiç olmayan bir ekmeği aslında hiç bölmemek gibidir. bu ifade bu kadar soyut olduğu için tanımlanmamıştır. matematiksel hiçbir ifade tanımlayamadığımız veya kendi başına tanımsız değildir. biz onu tanımsız bıraktığımız için tanımsızdır...