Çözenin 1 Milyon Dolar Ödülü Cebe Atacağı Matematik Problemi: Riemann Hipotezi
bu ödüllü problemlerin içlerinden en ünlüsü ve benim de bireysel çalışma konumla yakından ilişkili olan riemann hipotezini olabilecek en basit şekilde açıklamaya çalışacağım. hipotezi o kadar temelden anlatacağım ki lise hayatında hiç matematik dersi almamış olan insanlar bile hiç değilse problemin ne ile ilgili olduğunu anlayabilecek.
ancak önceden belirtmeliyim ki her ne kadar ben bunu elimden geldiğince basit açıklasam da bu problem neticede gelmiş geçmiş en zor matematik problemlerinden biridir ve anlaşılması oldukça zordur. bu sebepten matematik bilmeden problemi tamamen anlayabilmek mümkün değildir. bu yazının amacı problemin "ne ile ilgili olduğunu", yani bu problemle uğraşan insanların ne yapmaya çalıştıklarını açıklamaktır.
bu yazıyı yazıyorum çünkü ben de bu problemle bir süredir uğraşıyorum ve her sorana problemin ne ile ilgili olduğunu anlatmaktan yoruldum. sorana gönderecek link olsun diye yazıyı yazıyorum.
başlayalım.
öncelikle riemann hipotezinin ne ile ilgili olduğunu anlayabilmek için şu kavramların her birinin özünü kavramak gerek:
sayı doğrusu
koordinat sistemi
fonksiyon
mutlak değer
kare kök
asal sayılar
sonsuz seriler
logaritma
i sayısı
kompleks sayılar
kompleks analiz
yukarıdaki liste sizi korkutmasın çünkü her biri aslında birbiriyle ilişkili ve sezgisel kavramlardır. yukarıdaki kavramları teker teker açıklarken en son riemann hipotezine varacak ve konuyu rahatlıkla kavrayacağız.
her şeyden önce eksi ile artı kavramlarının anlamlarını bilmek gerekir.
eksi kavramı günlük hayatta çok fazla kullanıldığı için insanlara doğada bulunan bir kavrammış gibi gelir ancak doğada eksi diye bir şey yoktur. eksi dediğimiz şey herhangi bir noktadan başka bir noktaya ulaşabilmek için gitmemiz gereken yönü temsil etmek için kullanılır. bana göre bunun en iyi örneği sıcaklık örneğidir.
sıcaklık dediğimiz şey bir maddeyi oluşturan atomların sahip olduğu ortalama kinetik enerjidir. yani o maddeyi oluşturan atomların her birinin kütlesi ile hızlarının karesinin çarpımının yarısının toplamının atom sayısına bölümüdür.
çok çok daha basit açıklayalım:
bir atom düşünelim. bu atom durduğu yerde sabit durmaz ve bir yöne doğru hareket eder. eğer bu atom kapalı bir alandaysa da bir sağa bir sola çarpıp durur. atomun sağa sola çarpıp durma hızı bu atomun sıcaklığıdır. sıcaklığın si birimi, yani bilim dünyasında ortak kabul gören birimi ise bizim günlük hayatta kullandığımız santigrat derece değil, kelvindir.
şimdi sağa sola belirli bir hızda hareket eden bir atom hayal edelim ve bu atomun sıcaklığına 10 kelvin diyelim. eğer biz bu atomun sıcaklığını düşürüp 1 kelvin yaparsak basitçe atomun sağa sola hareket etme hızını düşürmüş oluruz. yani atom 1 kelvin olduğunda aslında daha yavaş hareket ediyor olur.
şimdi atomun 0 kelvin olduğunu düşünelim. bu durumda atom hiçbir şekilde hareket etmeden olduğu yerde yerde duruyor demektir. buna fizikte mutlak sıfır denir.
şimdi bu atomu daha da soğutmaya çalıştığımızı ve sıcaklığını -1 kelvin yapmaya çalıştığımızı düşünelim. bunu nasıl yapabiliriz ki? zaten hiç hareket etmeyen bir cismin nasıl daha az hareket etmesini sağlayabiliriz?
bu mümkün değildir çünkü doğada zaten eksi diye bir değer yoktur. yani -1, -2, -3 gibi sayılar aslında belirli bir merkez noktasına göre belirtmek için uydurulmuş kavramlardır. bu yer belirtme işini de en temelde sayı doğrusu dediğimiz çizginin üzerinde yaparız.
görseldeki şey bir sayı doğrusu. bu doğru basitçe üzerinde birbirine eş aralıklarla bölünmüş uzunlukların gösterildiği bir çizgidir. bu çizgi üzerinde yazan 1,2,3 gibi semboller basitçe o noktanın merkeze olan uzaklığını temsil eder.
örneğin 2+3 dediğimiz zaman " merkezden sağ tarafa doğru 2 birim ilerle, sonra da vardığın noktadan sağa doğru 3 birim ilerle" demiş oluruz. bu işlemi yaptığımız zaman kendimizi 5 noktasında buluruz. böylelikle 2+3=5 olur.
eğer bunun yerine 5-3 dersek "merkezden sağa doğru 5 birim ilerle, sonra da vardığın noktadan sola doğru 3 birim ilerle" demiş oluruz. böylelikle kendimizi 2 noktasında buluruz.
görselden görülebileceği üzere 0 ile 1 noktası arasındaki uzaklık ile 0 ile -1 arasındaki uzaklık birbirine eşit büyüklüktedir. bu uzaklıkların boyutları küçülebilir. örneğin 1 birimden daha kısa olan 0,5 uzaklık bulabiliriz. aynı şekilde -1 birim uzaklıktan daha kısa olan uzaklık -2 değil, -0,5 olacaktır. yani 0 noktasından -0,5 noktasına gidersek -1 noktasın giderken kat edeceğimiz mesafeden daha az yol ilerleriz.
olabilecek en küçük mesafe 0 birimdir ve bundan daha küçük uzaklık istesek de yapamayız. 0'dan daha küçük uzaklık -1 değildir. çünkü öyle bir uzaklık yoktur. bu durum aynı 0 kelvin bir atomu daha yavaş hale getiremeyecek olmamıza benzer.
yani işin özünde 0'dan küçük sayı yoktur çünkü sayı dediğimiz şeyler aslında çizgi gibi büyüklüklerdir ve yokluktan daha küçük bir şey mümkün değildir. eksi dediğimiz şey büyüklüğün, bir bakıma çizginin ilerleme yönüdür. bu durum modern dünyada verilen yetersiz matematik eğitiminden ötürü anlaşılması zor bir durum olabilir ancak insanlık tarih boyunca sayılara hep bu şekilde, yani çizgi olarak bakmıştır. örneğin öklid'in elementler kitabında sayılar hep çizgi olarak temsil edilir.
(kümeler çok başka mesele onlara hiç girmiyorum)
bu algı önemlidir çünkü bu temel sezgiye sahip olmazsak kareleri, dolayısıyla kare kökleri, dolayısıyla i sayısı dediğimiz şeyin ne kadar tuhaf bir şey olduğunu anlayamayız.
şimdi kareleri ve kare kökleri anlamaya çalışalım:
öklid isimli arkadaşımız kare dediğimiz şeyin tanımını elementler isimli kitabının 1. cildinin 46. önermesinde ve 9. cildinin 1. önermesinde yapmıştır.
karenin ne anlama geldiğini oldukça basit biçimde anlatayım:
bir uçlu kalemin kalem ucunu alıyoruz. diyelim ki bu ucun uzunluğu 5 cm. ucu beyaz bir kağıdın üstüne koyup herhangi bir doğrultuda hiç yön değiştirmeden 5cm yuvarlıyoruz. kağıdın üstünde ortaya çıkan siyah alana kare denir.
uç dediğimiz şey matematikteki çizgimiz, kare dediğimiz şey de ortaya çıkan alandır. bu karenin gösterimi 5^2 şeklinde olacaktır. bu da 5x5, yani 25 demek olacaktır.
yani aslında 3^2, 5^2, 2^2 gibi sayılarla gösterip kare dediğimiz her şey geometrik karedir. örneğin (a+b)^2, yani a ile b'nin toplamının karesi dediğimizde kastettiğimiz şey de geometrik karedir.
şimdi kare kök dediğimiz şeyin ne olduğunu düşünelim:
kare kök basitçe herhangi bir kareyi çizmemizi sağlayacak olan uçtur. örneğin 25 sayısının kare kökü 5'tir. bu, elimize 5 birim uzunlukta bir uç alarak alanı 25 olan bir kare çizebiliriz demektir. yani aslında kök 25 dediğimiz şey bizim kullandığımız ucu, yani çizgiyi temsil eder.
şimdi sayı doğrusuna dönelim:
sayı doğrusunda 0 ile 1 arasındaki çizgiyi koparıp onunla bir kare yaparsak ve aynı şekilde 0 ile -1 arasındaki çizgiyi koparıp onunla da bir çizgi yaparsak iki çizginin oluşturacağı karenin büyüklüğü eşit olur.
bunu gösterebilmek için göz hizasıyla örnek çizdim:
(-1)^2 sayısının (1)^2 sayısına, yani -1'in karesinin 1'in karesine eşit olmasının sebebi budur.
hatırlarsanız bir sayının kare köküne, o kareyi oluşturmak için kullandığımız uç, yani çizgi demiştik. kök içindeki işlemlerin karesini kökten çıkarırken mutlak değer olarak çıkarmamızın, yani her zaman pozitif olacak biçimde çıkarmamızın sebebi çıkan sayının bir kareyi temsil ediyor olmasıdır.
yani bu aslında bir uçla çizebileceğimiz en küçük kare 0 olur, o da yokluktur, yokluktan daha küçük kare de yoktur demektir.
buraya kadar her şey tamam ise i sayısı dediğimiz sayının ne kadar acayip bir sayı olduğuna geçelim.
i sayısı dediğimiz sayı karesinin büyüklüğü -1'e eşit olan, yani yokluktan daha küçük olan sayıdır.
bu insanın algılarını zorlayan bir olaydır çünkü ironiktir ki ismi hayali sayı olan sayıyı hayal etmek mümkün değil. i sayısını hayal etmek demek yokluktan küçük bir birim hayal etmek demektir.
"hani -1 dediğimiz şey sadece farklı yöndü, hani 1'e eşitti ve olay sadece yönden ibaretti, o zaman i sayısının karesi 1'e eşit olmaz mı" sorusunu soran olacaktır. burada ayırt etmemiz gereken olay -1 ile gösterilen çizgi ile -1 ile gösterilen kare kavramlarının bambaşka şeyler olmaları. yani -1 uzunluğunu kullanarak kare yaptığımızda ortaya çıkan şey (-1)^2'den 1 olur ve bu 1'in temsil ettiği şey -1 dediğimiz uzunluk ile çizilen karenin alanıdır.
mesela -2'nin karesi de 4 olur 2'nin karesi de 4 olur çünkü -2 uzunluğundaki çizgi ile çizilen karenin 2 ile çizilenden farkı yoktur. sayıların kareleri büyüklük temsil ettiği için hiçbir sayının karesi 0'dan küçük olarak algılanabilecek olan - işaretiyle gösterilmez.
şimdi sayı doğrusuna gelelim.
hatırlatma olarak tekrar sayı doğrusu:
sayı doğrusunda hangi aralığı alıp kare çizerseniz çizin alanı 0'dan büyük bir kare ortaya çıkar. yani basitçe siz bu sayı doğrusu üzerinde i sayısını nerede ararsanız arayın bulamazsınız. mesela her ne kadar sayı doğrusunda pi sayısına ulaşmak imkansız olsa da pi sayısının 3 ile 4 arasında bir yerde olduğunu biliriz. ancak i sayısında bu durum geçerli değildir çünkü i sayısı sayı doğrusunda bulunmaz.
bu noktadan sonra kompleks analiz'e geçmemiz gerekir ancak kompleks analizi anlamadan önce fonksiyon ve grafik kavramlarını anlamamız gerek.
fonksiyon dediğimiz şey basitçe her sayıya aynı işlemi uygulayan bir sistemdir.
diyelim ki biz f(x) = 2x+2 şeklinde bir fonksiyon tanımladık. bu durumda fonksiyonumuz basitçe "herhangi bir sayıyı kendiyle bir kere toplayıp çıkan sonuca 2 ekleyen makine" şeklinde tarif edilebilir.
örneğin f(1) dersek f(1) = (1+1) + 2 işleminden 4 sonucunu buluruz. f(2) dersek de f(2) = (2+2) + 2 işleminden 6 sonucunu buluruz.
fonksiyon dediğimiz bu makineyi görselleştirme yoluna grafik denir. grafik basitçe bir sayı doğrusuna, o sayı doğrusunu dik kesen başka bir sayı doğrusu ekleyerek oluşturduğumuz düzlemdeki noktaları oluşturan çizgidir.
bu tanımlama karışık olduğu için görsellerle destekleyelim:
bu görselde sağa-sola ilerleyen sayı doğrusuna x ekseni, yukarı-aşağı ilerleyen sayı doğrusuna da y ekseni denir.
biz fonksiyonumuzu f(x) = 2x + 2 şeklinde tanımlamıştık. burada f(x) dediğimiz yerdeki x, bize x ekseninde bakacağımız noktayı, yani sağa-sola giden sayı doğrusunda hangi tarafa ne kadar gideceğimizi temsil eder. eşittir işaretinden sonraki 2x+2 kısmı da bize y ekseninde, yani yukarı-aşağı doğru giden sayı doğrusunda hangi tarafa ne kadar gideceğimizi temsil eder.
şimdi diyelim ki biz f(3) = 2 + 3 dedik.
yukarıdaki işlemi yaparak varmamız gereken noktayı bulalım:
x ekseninde f(3) kısmında olduğu gibi 3 adım, y ekseninde de 2+3 kısmında olduğu gibi 5 adım ilerlediğimizde bu noktaya vardık.
eğer bir fonksiyonu alıp tüm sayılar için aynı işlemi yapıp vardığımız noktaları bir bir işaretlersek ortaya bir çizgi çıkar.
yani mesela f(x) = 2x + 2 fonksiyonunda x'i önce 1 alıp bir nokta bulur, sonra 2 alıp bir nokta bulur, sonra 3 alıp bir nokta bulur ve bu şekilde sonsuza dek ilerler ve hiçbir sayıyı eksik bırakmazsak ortaya bir çizgi çıkar. yani mesela 1/2 sayısı da f(1/2) şeklinde hesaplamamız gerek. bütün sayılardan kasıt reel sayılardır.
f(x) = 2x + 2 fonksiyonundaki bütün sayıların noktalarını bulursak ortaya çıkan çizgi:
bu noktaya kadar oldukça güzel yol kat ettik ve riemann hipotezi olayını anlayabilmek için geriye sadece asal sayılar, logaritma, diziler ve kompleks analiz kaldı. bunları da hemen sezgisel olarak açıklayıp riemann dediğimiz adamın ne muhteşem bir dahi olduğunu görelim.
asal sayı dediğimiz sayılar 2'den başlamak üzeri kendisi ve 1 dışında hiçbir doğal sayıya tam bölünemeyen sayılardır. yani bilinen bütün doğal sayılar ya asal sayıdır ya da birden fazla asal sayının çarpımıdır.
örneğin 2 sayısı asaldır, 3 asaldır, 4 sayısı (2x2) olmak üzere birden iki asal sayının çarpımıdır, 5 sayısı asaldır, 6 sayısı (2x3) olmak üzere birden fazla asal sayının çarpımıdır, 7 sayısı asaldır, 8 sayısı (2x2x2) olmak üzere birden fazla asal sayının çarpımıdır, 9 sayısı (3x3) olmak üzere iki asal sayının çarpımıdır...
bu şekilde saya saya sonsuza dek gideriz ve her sayı ya asal olur ya da asal sayıların çarpımı olur.
öklid sonsuz adet asal sayı olduğunu kanıtlamıştır ve bu kanıtı şu yazıda gösterdim.
asal sayılarla ilgili problem, bu sayıların sayı doğrusu üzerinde neye göre belirdiğini açıklayan örüntü bulmaktır.
daha basit açıklayalım:
diyelim ki biz sayı doğrusu üzerinde herhangi bir noktadayız. bu noktaya x noktası diyelim. öğrenmek istediğimiz şey x+1 noktasının, yani bir sonra varacağımız noktanın bir asal sayı ile gösterilip gösterilmeyeceğinden kesin olarak emin olmak istiyoruz.
bu konuda birkaç şey biliyoruz elbette. örneğin x noktası tek sayıysa bir sonraki nokta çift olacaktır ve 2'ye bölünebildiği için asal olmayacaktır. ya da mesela x ile x sayısının 2 katı olan 2x arasında mutlaka ama mutlaka bir asal sayı olacağını da biliriz ama işte bu asal sayıların neye göre ortaya çıkacağını bulmak çok zor meseledir.
matematikçiler binlerce yıl bu örüntüyü aramıştır ve örüntüyü keşfetme işi riemann hipotezini ortaya atan kişi olan bernhard riemann'a kısmet olmuştur.
riemann'ın örüntüyü nasıl bulduğunu anlamak için kompleks analiz denilen şeyin ne olduğunu yüzeysel de olsa anlamak gerekir.
hatırlarsanız i sayısının sayı doğrusundaki hiçbir yerde bulunamayacağından bahsetmiştim. matematikçiler yaratıcı insanlardır ve bu problemin üstesinden muhteşem bir şekilde gelmişlerdir.
"eğer sayı doğrusunda i sayısını bulamıyorsak o zaman biz de sadece i sayısından oluşan bir sayı doğrusu yaratalım"
matematik ve fizik arasındaki fark isimli yazıda matematik evreninin canımız ne isterse o olabileceğinden, istediğimiz şekilde bir şeyler yaratabileceğimizden bahsetmiştim. bu olay bunun çok güzel bir örneğidir.
basitçe i sayısından, yani kök -1 sayısından ve bu sayının katlarından oluşan bir sayı doğrusu inşa ediyoruz. bu sayı doğrusu da -3i -- -2i -- -i -- 0 -- i -- 2i -- 3i şeklinde ilerliyor.
hatırlarsanız fonksiyonlardan bahsederken iki sayı doğrusunu birleştirmiştik. şimdi x ekseni bildiğimiz sayı doğrusu, y ekseni de i sayılarıyla yarattığımız sayı doğrusundan oluşan bir düzlem oluşturuyoruz. bu düzleme de kompleks düzlem diyoruz.
mesela bu düzlemde f(x) = 2x dersek normal fonksiyonda hangi x değerine nasıl varırsa aynı şekilde varıyoruz. tek fark, vardığımız noktayı bir kompleks sayı olarak, yani a+bi şeklinde temsil ediyoruz.
buna örnek olarak görsel: kompleks düzlem
artık riemann hipotezine geldik.
euler ve gauss isimlerini ve bu adamların ne kadar büyük matematikçi olduklarını mutlaka bir yerlerden duymuşsunuzdur. euler, gauss ve riemann hep birlikte voltran yapıp asal sayıları paramparça ediyor ve bütün sırrı bozuyorlar.
işe önce euler zeta fonksiyonu ismini verdiğimiz bir fonksiyon tanımlayarak başlıyor.
zeta fonksiyonu sonsuz bir seridir ve z(x)= ((1)^-x) + ((2)^-x )... diye sonsuza dek gider.
yazının sonunda izlenmesi gereken videodan görsel: zeta fonksiyonu
euler bu fonksiyonu inceliyor ve fonksiyona girilen değer 1'den büyük olduğu zaman grafikte ortaya çıkan çizginin yakınsak olduğunu, yani belirli bir noktaya git gide yaklaştığını fark ediyor.
eğer yakınsama ve limit gibi kavramları bilmiyorsanız ve tıpkı bu yazıdaki gibi açıklanan bir yazı arıyorsanız sizi alice in wonderland'in matematik kitabı olması başlığındaki yazıyı okuduktan sonra buraya dönebilirsiniz.
devam edelim:
euler bu fonksiyonun yakınsak olduğunu fark ettikten sonra hızını alamıyor ve muazzam bir şey yapıyor. euler zeta fonksiyonunun aynı fonksiyonun alt kısmına asal sayıların katlarını yazsaydık ortaya çıkacak olan tüm sonsuz serilerin toplamı olduğunu keşfediyor.
bu şu demek:
ilk asal sayı olan 2'den başlayarak bir seri tanımlayalım ve bu seri tıpkı zeta fonksiyonu gibi olsun ama tek fark bölme işleminin alt kısmındaki sayıların 1, 2, 3,4... şeklinde değil de ilk asal sayının üstel katları olan 1, 2,4,8,16... şeklinde ilerlesin. bu seriye f1 diyelim.
( serinin 1 ile başlamasının sebebi (2^0)'ın 1 olması )
daha sonra yine aynı şeyi yapalım ama bu sefer seri 2 yerine 3'ün üstel katları olan 1,3,9,27... şeklinde ilerlesin ve bu seriye de f2 diyelim.
böyle böyle f1, f2, f3, f4 diye sonsuza dek ilerleyelim.
eğer bütün bu serileri çarparsak, yani f1 x f2 x f3 x f4... diye sonsuza dek gidersek ortaya çıkan sonuç zeta fonksiyonuna eşit olur.
yani z(x) = f1 x f2 x f3 x f4
buraya kadar her şey tamam ise sahneyi gauss devralıyor:
gauss asal sayılara kafayı takmış ve 3 milyon sayısına kadarki bütün asal sayıların listesini çıkarmış. listeyi çıkarttıktan sonra da asal sayıların nasıl bir düzende arttığını görebilmek adına prime counting function isminde bir yöntem geliştirmiş.
bu yöntem aslında oldukça basit bir grafikten ibaret. eğer x değeri bir asal sayı değilse grafikteki çizgi dümdüz ilerler, eğer x değeri bir asal sayı ise grafikteki çizgi 1 birim yukarıya çıkıp dümdüz ilerlemeye devam eder.
gauss bu grafiği çizebildiği kadar çiziyor ve x ekseninde ilerledikçe ortaya çıkan şeklin neye benzediğini görmeye çalışıyor ve bu şeklin logaritmik integral fonksiyonu denilen bir fonksiyona epey benzediğini fark ediyor.
önce iki grafiğin görsellerini ve benzerliğini paylaşıp sonra logaritma dediğimiz şeyin ne olduğunu çok çok basitçe açıklayıp işi riemann'da bitirelim.
görseldeki kırmızı çizgi logaritmik integral fonksiyonu iken siyah çizgi gauss'un asal sayma yönteminden ortaya çıkan çizgidir:
logaritma dediğimiz şey bir fonksiyondur ve işlevi basitçe bir sayının kaçıncı üssünün istenilen değeri verdiğini bulmaya yarar.
mesela log2(4) dediğimiz zaman basitçe "2 sayısının kaçıncı üstel katı bize 4 sayısını verir" sorusunu sormuş oluruz.
log2(4) = y diyelim. bu durumda y sayısı 2 sayısının üstüne koyduğumuzda 4 sonucunu veren sayı anlamına gelir.
bu durumda log2(4) = 2 olur çünkü 2^2 = 4 eder.
yazının buraya kadarki kısmının tamamını açıklamayı başardığıma inanıyorum ancak şimdi en zor kısma geldik ve bunu açıkçası nasıl açıklayacağımı gerçekten bilemiyorum. bu kısmı çok da anlamasak bile yine de riemann hipotezinin ne ile ilgili olduğunu anlayabileceğimiz için logaritmik integral fonksiyonu kısmının sadece bir görselini gösterip devam edeceğim.
integral denilen şeyin ne olduğunu yine yukarıda bahsettiğim alice yazısında açıklamıştım. logaritmik integral fonksiyonunu da sıkıntılı insanların uğraştığı integralli logaritmalı çok acayip bir şey olarak hayal edin.
tanımı şu şekildedir:
önemli olan husus, logaritmik integral fonksiyonu dediğimiz fonksiyonun her x noktasındaki eğimi 1/log(x) değerine eşit olmasıdır.
gauss çok zeki adam, öyle böyle değil.
bu sebepten o da hızını alamıyor ve şunu fark ediyor:
diyelim ki biz gittik herhangi bir doğal sayı seçtik. bu sayıya x sayısı diyelim.
x sayısının sayı doğrusunda sol tarafında ilerledikçe karşımıza çıkan bazı sayılar asal değilken bazı sayılar asal olacaktır. ayrıca x sayısından sağa doğru gittikçe de aynı şekilde bazı sayılar asal iken bazıları asal olmayacaktır.
diyelim ki saymaya başlıyor ve hem sola doğru 10 defa hem de sağa doğru on defa sayıyoruz. bizim sağımızdan ve solumuzdan saydığımız toplam 20 sayının içindeki asal sayıların saydığımız tüm sayılara oranı çok düşük bir hata payıyla 1/log(x) olur.
yalnız bu durum x değeri yükseldikçe belirginleşir çünkü sayı doğrusunun en başı diğer sayıların oluşmasını mümkün kılabilmek adına birçok asal barındırmak zorunda olduğu için hata payı yüksek olacaktır.
yani siz x değerini 10 alırsanız hata payı yüksek olur ama x değerini 1000000 alırsanız hata payı oldukça düşer.
buradan sonra artık riemann isimli arkadaşa gelmiş bulunmaktayız.
riemann gauss'un asal sayma yöntemini ve euler'in zeta fonksiyonunu alıp kompleks sayılar düzlemine katıp biraz modifikasyon yapıyor ve asal sayıları elle koymuş gibi bulmanın yolunu ortaya çıkarıyor.
bunu şu şekilde yapıyor:
hani bir euler'in z(x) şeklindeki zeta fonksiyonu vardı, bir de 3 + 2i gibi kompleks sayılar vardı ya.
riemann "zeta fonksiyonunda x yerine kompleks sayıları koysak ne olur ki acaba" diye düşünüp zeta fonksiyonunun kompleks x değerleriyle ne gibi sonuçlar verdiğini inceliyor.
incelemesinin sonucunda görüyor ki, zeta fonksiyonuna girilen değerin gerçek sayı olan kısmı, yani mesela 3+2i sayısının 3 kısmındaki gibi gerçek olan kısım 1'den büyük olursa fonksiyon yakınsak oluyor ama sen bu değeri 1'den küçük yaparsan fonksiyon ıraksak oluyor. yani bu fonksiyon gerçek kısmı 0 ile 1 arasındayken sonsuza kadar yükseliyor.
şimdi 1 milyon dolarlık zorluğa vardık artık.
(bu noktadan sonrasını anlamamak çok normal çünkü bu noktadan sonrasını basitleştirmeyi denemek bile artık insanı yorar ve ben dümdüz yürüyeceğim. buraya kadar anladıysanız, buradan sonrasını yüzeysel olarak bilseniz bile yeter.)
riemann bu durumdan hoşlanmadığı için 0 ile 1 arasında ıraksak olan foksiyonun tanım aralığını genişletmesini sağlayan analytic continuation ismindeki ne sen sor ne ben söyleyeyim seviyesindeki tekniği kullanıyor. bu teknik aslında beğenmediğin fonksiyonu başka bir fonksiyonla birleştirerek tanım aralığını genişletmek şeklinde özetlenebilir.
yani basitçe euler'in zeta fonksiyonu vardı ama riemann'ın işine yaramıyordu, bu sebepten riemann kendi uydurduğu başka bir fonksiyondan yardım alarak euler'in fonksiyonunu işine gelecek biçimde modifiye etti.
ortaya çıkan bu yeni fonksiyona riemann zeta fonksiyonu denir.
riemann bu yeni fonksiyona yeni değerler giriyor ve çok acayip bir şey keşfediyor.
önce riemann zeta fonksiyonuna değerler girildiğinde ortaya çıkan görüntüyü verelim:
görselden görülebileceği üzere bu fonksiyona girilen değerler bir şekilde dönüp dolaşıp 0 noktasına değiyor ve yoluna devam ediyor. işte grafiğin 0 noktasına vurduğu her, ama her değerde girilen değerin gerçek sayı olan kısmı 1/2 sayısı. yani sen gidip de riemann zeta fonksiyonuna gerçek kısmı 1/2 olan kompleks değerler girersen 0 sonucunu alabiliyorsun.
riemann bunu keşfettikten sonra gauss'un asal sayma yöntemine çok benzer bir yöntem geliştiriyor.
hatırlarsanız gauss her asala denk geldiğinde y ekseninde 1 yukarı çıkıyordu. riemann da aynı şeyi yapıyor ama her seferinde 1 yukarı çıkmak yerine tıpkı gauss'un 1/log(x) formülündeki mantık gibi log(x) miktarda yukarı çıkıyor. yani mesela biz 5'e geldik ve 5 bir asal sayı, bu durumda y ekseninde 1 birim yukarı çıkmak yerine log(5) birim yukarı çıkıyoruz.
riemann bu yöntemle gauss'un grafiğine benzer bir grafik çıkarıyor ve en sonunda şu sonuca varıyor.
eğer ben gidip bu yeni grafiğin üstünden geçen bir dalga oluşturursam ve zeta fonksiyonunda 0 değerini veren her kompleks sayı grafikteki dalgaya ekleyerek harmoni katarsam eklediğim değerler yükseldikçe dalga ile yeni ürettiğimiz grafik birbirleriyle gittikçe daha uyumlu olur.
bu olayı artık nasıl açıklarım bilmediğim için buraya direkt gif şeklinde animasyon eklenmiş bir link bırakıyorum: gifli site
bu özetle şu demek:
hani bize 0 değerini veren 1/2 gerçek kısımlı zeta fonksiyonu değerleri vardı ya. işte o 0 değerini veren yerler aslında bize bir sonraki asal sayının nerede olduğunu, yani en başta sorduğumuz "biz x noktasında isek x+1 asal mı" sorusunun cevabını söyler ve biz bu cevabı yukarıdaki gifte gösterilen teknik ile bulabiliriz. yani asalların yerini tahmin edebiliriz. şimdiye kadar 10^13 adet birebir uyuşan zeta 0 bulduk ve bulmaya da devam ediyoruz.
problem şu:
biz ne kadar test edersek edelim, bütün zeta 0 değerlerinin bizim asal sayıların yerini bulabilmemize sağlayacağının garantisini veremeyiz.
yani mesela biz bir milyon kere yazı tura atalım ve bir milyon kere yazı gelsin, yine de bir sonraki sefer tura gelmeyeceğini garanti edemeyiz. o zamana kadar bir milyon defa yazı gelmiş olması bizi her seferinde yazı geleceğine inandırsa bile bizim matematiksel açıdan emin olabilmek adına her seferinde yazı geleceğini garantilememize olanak sağlayacak bir yöntem geliştirmemiz gerekir. eğer bu yöntemi bulup da garanti edebilirsek yazı hipotezimizi kanıtlamış oluruz.
riemann hipotezini kanıtlamaya çalışmak da aynı mantık. eğer gidip de tüm zeta 0 değerlerinin istisnasız biçimde uyuştuğunu kanıtlamanın yolunu bulursan hem parayı alır hem de ismini euler, gauss ve riemann'ın yanına 4. olarak eklersin.
şu konuya da değineyim:
ben bunu kanıtlamaya çalışmıyorum. riemann kanıtlayamadıysa ben de kanıtlayamam çünkü bende o adamdaki kafa yok. zaten benim işim gücüm mantık ve kümedir.
benim merak ettiğim şey bu kadar zeki adam bir araya gelip de nasıl bunu kanıtlayamadı 150 yıldır. neden olmuyor bir türlü bu? belki de kanıtlamak mantıksal açıdan çelişki barındırdığı için imkansızdır ve hipotezi aksiyom olarak kabul etmek zorundayızdır.
olur mu öyle şey demeyin çünkü olur. bu durum tamamen gödel'in eksiklik teoremi ve konuyla alakalı 82 yılında yayınlanan bir makaleyle ilgili ama o başka girdinin konusu.
kaynakça cephanesi: özet video, gauss'un işleri, logaritmik integral, prime number theorem, okuyarak anlamayan için prime number theorem khan academy videosu
1/log(x) muhabbeti, analytic continuation, riemann zeta fonksiyonu, kontrol ettiğimiz zeta 0 değerleri
Cambridge Matematik Bölümünün İnsanı Düşündüren Mülakat Soruları
