Cambridge Matematik Bölümünün İnsanı Düşündüren Mülakat Soruları
cambridge matematik bölümü mülakat sorularına cambridgeinterviewquestions isimli siteden erişilebiliyorsunuz. soruların geneline baktığımızda okulun ülkemizdeki eğitim sisteminin aksine öğrenci kabul ederken öğrencinin ne kadar hızlı işlem yaptığıyla ya da ne tür teknikler ezberlediğiyle ilgilenmediğini, aksine öğrencilerin girmek istedikleri bölüm ile ne kadar ilgili olduklarını ve konuyla ilgili ne kadar kültür sahibi olduklarını ölçmek istediğini görebiliyoruz.
önce soruların ingilizcelerini paylaşıp daha sonra bu sorulardan dikkatimi çekenleri türkçeye çevireceğim. açıkçası soruların tamamını çevirmeye ve cevaplamaya üşendiğim için türkçeye sadece hoşuma gidenleri ve cevaplaması çok vakit almayacak olanları çevireceğim.
ingilizceleri
1: how many 0s does the number 30! have?
2: how long does a mirror have to be for you to see your whole body?
3: a body with mass m is falling towards earth with speed v. ıt has a drag force equal to kv. set up a differential equation and solve it for v.
4: show that if n is an integer, n^3 – n is divisible by 6.
5: you have a 3 litre jug and a 5 litre jug. make 4 litres
6: what was the most beautiful proof in a-level mathematics?
7: if x is odd prove x squared – 1 is always a multiple of 8
8: what do you think is beautiful in maths?
9: prove that any number consists of prime factors or is a prime number.
10: consider two identical, frictionless slopes, down which we send two identical
particles. ıf each particle starts the same height up each slope, but one rolls whereas the other simply translates down the slope, which particle will reach the bottom first?
differentiate x^x, then sketch it.
11: is it possible to cover a chess-board with dominoes, when two corner squares have been removed from the chessboard and they are (a) adjacent corners, or conversely, (b) diagonally opposite.
12: integrate 1/(x^2) between -1 and 1. describe any difficulties in doing this?
13: if a cannon is pointed straight at a monkey in a tree, and the monkey lets go and falls towards the ground at the same instant the cannon is fired, will the monkey be hit? describe any assumptions you make.
14: integrate xlog(x).
15: how many solutions to kx=e^x for different values of k?
16: prove by contradiction that when z^2 = x^2 + y^2 has whole number solutions that x and y cannot both be odd.
17: sketch y=ln(x) explaining its shape.
18: compare the integrals between the values e and 1: a) int[ln(x^2)]dx; b) int[(lnx)^2]dx and c) int[lnx]dx. which is largest?
19: sketch y=(lnx)/x.
20: differentiate x^x and (x^0.5)^(x^0.5).
21: sketch y=cos(1/x).
22: what is the square root of i?
23: if each face of a cube is coloured with one of 6 different colours, how many ways can it be done?
24: if you have n non-parallel lines in a plane, how many points of intersection are there?
25: sketch y = (x^4 – 7x^2 + 12)/(x^4 – 4x^2 +4).
26: sketch y^2 = x^3 – x.
27: integrate from 0 to infinity the following: ınt[xe^(-x^2)]dx and ınt[(x^3)e^(-x^2)]dx.
28: if you could have half an hour with any mathematician past or present, who would it be?
29: what is the most pieces of pizza ı can get from ‘n’ cuts?
30: i am an oil baron in the desert and ı need to deliver oil to four different towns which happen to lie on a straight line. ın order to deliver the correct amounts to each town, ı must visit each town in turn, returning to my warehouse in between each visit. where should ı position my warehouse in order to drive the shortest distance possible? roads are no problem since ı have a friend who is a sheikh and will build me as many roads as ı like for free.
31: sketch y = sinx and y = (sinx)-1
32: i drove to this interview at 50 kmph and will drive back at 30kmph because of the traffic. what is my average speed?
33: derive the formula for the volume of a sphere.
34: do you know what a hyperbolic function is?
35: draw the graph of y= (x-3)(x-2) / (x 2)(x-1)
36: estimate the fifth root of 1.2
37: e^x = y^x. for what value of x is there only one solution?
38: how would you prove that any integer can be expressed factors or is itself a prime number?
39: how would you derive pi?
40: how would you prove that e is irrational?
41: how would you prove that the square root of 3 is irrational?
42: how would you write down 0.1 recurring as a fraction?
43: if x is odd prove x squared – 1 is always a multiple of 8
44: integrate ysiny with respect to y.
45: plot 1/x
46: plot e^x
47: plot lnx
48: plot x^2+ x
49: prove pythagoras theorem.
50: sketch sinh(x) or cosh(x).
51: there are 30 people in one room. what is the probability that of them have the same birthday?
52: what are modular functions?
53: what do know about fermat’s last theorem?
54: what do you think is beautiful in maths?
55: what is the significance of euler’s equations?
56: what is your favourite number?
57: why do we approximate many functions in maths as cosine?
dikkatimi çeken bazı soruların çevirileri ve açıklamaları
1. 30 faktöriyelde kaç 0 vardır?
açıklama: bu soru aslında türk eğitim sisteminde daha en başlarda hesaplama tekniği verilen bir sayılar kuramı sorusudur. sorunun cevabı yöntemini bilene basit olsa da, eğer yöntemi bilmiyorsanız cevabını o an uydurmanız zordur ve aslında gerçekten matematiksel düşünme becerisi ister. bu soruyu hemen cevaplarsanız karşınızdaki kişiye daha önce sorunun cevabını bildiğiniz izlenimini verebilirsiniz. bu durumda muhtemelen size birkaç soru daha sorulur. ama eğer sorunun cevabını bilmiyorsanız ve karşınızdaki kişi sizin o soruyu o an çözdüğünüzü görüyorsa mülakatı yapan kişiyi tavlama ihtimaliniz var.
cevap: herhangi bir faktöriyel sonucunun kaç 0'a sahip olduğunu bulabilmek için basitçe o çarpımdaki 5 çarpanlarını saymak gerekir.
30! = 30.29.28.27.26.25..........3.2.1
basitçe 4.3.2.1 bize 24 sayısını verirken birinci 5 çarpanı devreye girdiğinde 120 sayısını elde ederiz ve ilk 5 çarpanında 1 adet 0'ı olan sayımız olur. ikinci beş çarpanına sahip olan 10! sayısına eriştiğimizde 3628800 sayısından sonra 2 adet 0 rakamı olduğunu görürüz. basitçe bir faktöriyel işlemindeki 5 çarpanı sayısı bize o faktöriyelin sonundaki 0 sayısını verecektir. bu durumda 30 ile 1 arasında 5'in katları olan sayılar olan 5, 10, 15, 20, 25, 30 sayılarındaki 5 çarpanlarını sayarsak 30! sayısının sonunda kaç sıfır olduğunu bulabiliriz.
5 = 1x5
10 = 2x5
15 = 3x5
20 = 2x2x5
25 = 5x5
30 = 2x3x5
yukarıdaki 5 sayılarını sayarsak 25 çarpanından 2 adet 5, diğerlerinin her birinden de 1 adet 5 çarpanı alabildiğimizi görürüz. böylelikle 1+1+1+1+2+1 işleminden 7 adet 5 çarpanı sayabiliriz. bu durumda 30! sayısının sonunda 7 adet 0 olacaktır.
peki sorunun cevabı bu mu? hayır.
soru bize 30 faktöriyel sayısının sonunda kaç sıfır olduğunu sormuyor. soru bize 30 faktöriyel sayısının içinde kaç adet 0 olduğunu soruyor. yani aslında bu soru aslında matematik yetkinliğini ölçtüğü kadar dikkatimizi de ölçen bir soru ve biz bu soruya 7 cevabını verirsek hata yapmış olacağız çünkü 30! sayısının sonunda 7 adet 0 olmasına rağmen kendisinde toplam 7 adet 0 yok.
30! sayısı 265252859812191058636308480000000 sayısına eşittir.
sayıyı incelediğimizde görebileceğimiz gibi sondaki 7 adet 0 dışında sayının içinde 2 tane daha 0 bulunuyor. böylelikle sorunun cevabı 7 değil 9 olur.
peki herhangi bir faktöriyeldeki toplam 0 sayısı nasıl bulunur? inanın bilmiyorum. internette bu işin bir formülü var mı diye gezindim ama bulamadım. aklıma gelen en kolay yöntem şu oldu:
biz 30! sayısının sonunda 7 adet 0 olduğunu hesaplayabiliyoruz. bu 7 adet 0'dan kurtulursak kalan sayıyı çarpmak daha kolay olur ve bu çarpım sonucu çıkan sonuç aynı sonucun 7 adet 0'ı atılmış versiyonu olacaktır. bu sayının içindeki 0'ları sayıp bulduğumuz sonucu 7 sayısına ekleyerek doğru cevabı bulabiliriz.
7 adet 0'dan kurtulmak için sayıyı 10 sayısının 7. kuvvetine bölmemiz gerekir.
böylelikle işlemimiz 30!/(10^7) olacaktır.
bu sadeleştirmeyi yapıp kalan çarpımı yaparsak 26525285981219105863630848 sonucuna erişiriz ve basit bir 0 ayıklama işlemiyle çıkan sonuçta 2 adet 0 olduğunu görüp 2+7=9 cevabını bulabiliriz.
n faktöriyel sayısı içindeki toplam 0 adetini bulma formülü hakkında bilgisi olan varsa özelden mesaj atabilir. ben bu soruyu bu kadar götürebildim kendimce.
2. vücudunun tamamını görebilmek istiyorsan baktığın ayna ne kadar büyük olmalı?
açıklama: bu soru aslında hileli bir soru gibi görünse de sorulma amacının başvuran kişinin matematik bilgisini günlük hayata ne kadar uygulayabildiğini ve olayları ne kadar kısa sürede kavrayabildiğini ölçmek için sorulduğunu düşünüyorum. çünkü soru bize vücudumuzun tamamını görebilmek için aynanın ne kadar büyük olması gerektiğini soruyor ve ilk düşünmeye başladığımızda aklımıza ister istemez "mesafe önemli değil mi ki" sorusu geliyor ama aslında yansıma mantığı sebebiyle vücudumuzun tamamını görebilmek için ihtiyaç duyduğumuz şey aynaya olan uzaklığımızı değil aynanın boyunu bilmek olacaktır. bu mantığı kavrayabilmek için de zihnimizde yapacağımız açı hesabı bizi dolaylı yoldan aynanın sahip olması gerektiği büyüklüğe götürecektir, çünkü aynadan ne kadar uzaklaşırsak uzaklaşalım vücudumuzun aynı oranda göründüğünü çözebilmek için gerekli açı oranına ihtiyaç duyarız ve bu oran sebebiyle mesafe fark etmeksizin vücudumuzun tamamını görebilmek için aynanın ne kadar büyük olması gerektiğini anlayabiliriz. basitçe eğer aynanın boyu bizim boyumuzun yarısı kadar veya yarısından büyükse aynaya nereden bakarsak bakalım vücudumuzun tamamını görmemiz mümkündür. yani aslında sorunun kendisi yanıltıcı bir sorudur ve bizim cevabı bulabilmek için soru kalıbından çıkarak düşünmemiz gerekir. çünkü aynanın vücudumuzu gösterme oranı bizim aynaya olan mesafemizle ilgili değil, boyumuzun aynanın boyuna oranı ile ilgilidir.
ayna ve insan boy oranı
durumu daha net gösterebilmek için evde bulduğum bir ayna ile mesafeyi uzatarak iki farklı fotoğraf çektim. benim boyum 188cm ve aynanın boyu 75 cm. 188/2 hesabından bir aynanın beni boydan gösterebilmesi için minimum 94cm olması gerekir. görseldeki ayna 75 cm olduğu için, yani 94cm boyundan kısa olduğu için aramızdaki mesafeyi arttırsam bile beni boydan gösteremez. ilk görsel ile ikinci görsel arasında aşağı yukarı bir metrelik bir mesafe farkı var.
masanın önünden görsel
masanın arkasından görsel
iki görsel arasındaki mesafe farkına rağmen aynada görünen vücut oranının aynı olmasından durum daha kolay anlaşılabilir. ayrıca saçları ben uzatmıyorum, onlar kendi kafalarına göre uzuyorlar :)
6. ileri düzey matematikteki en güzel kanıt hangisiydi?
açıklama: bu sorunun henüz ileri düzey matematik görmemiş bir öğrenciye sorulmasının sebebinin o öğrencinin kendi başına konuyla ilgili bir şeyler araştırıp araştırmadığını test etmek olduğunu düşünüyorum.
bir insan bir şeyler gerçekten ilgiliyse ve o konuya hayatını adayabilecek düzeyde tutkuya sahipse yeni başlamış olsa bile konuyla ilgili olur olmadık her şeyi araştırma dürtüsüne sahip olacaktır. eğer siz gerçekten istediğiniz ve çaba göstereceğiniz için bu bölüme geldiyseniz muhtemelen öncesinde ileri düzeyde estetik bir kanıt ile karşılaşmışsınızdır.
bu kanıtları baştan sona en ince ayrıntılarıyla bilmeseniz bile kanıtların neden estetik olduğunu anlayabildiğinizi ve bu matematiksel sezgiye sahip olduğunuzu göstermenin yeterli olacağına inanıyorum.
örneğin euler eşliği gibi klişe bir cevap verip mülakatı yapan kişinin önüne ezberden şu işlemleri koyabilir ya da mesela aşağıdaki linkte bulunan yazıda bahsettiğim 1+2+3+4... = -1/12 sonucundan bahsedebilirsiniz ancak yine de karşınızdaki kişi sizin bahsettiğiniz şeyi gerçekten o şeyi kavrayarak ve güzelliğini sezerek anlatmadığınızı, yani aslında ezbere konuştuğunuzu hissederse elenebilirsiniz.
8. sizce matematiğin neresi güzel?
açıklama: bu soru gayet açık ve net bir soru. matematik genelde sevilmeyen bir konudur ve onu sevebilmek için genellikle özel bir sebebimiz olması gerekir. bu sebep benim için matematiğin bize yabancıların mathematical rigour dedikleri, türkçeye matematiksel titizlik olarak çevrilse de benim matematiksel keskinlik olarak çevirmeyi tercih ettiğim imkanı sunmasıdır.
biri hakkında iyi ya da kötü hakkında, etik hakkında, hukuk hakkında, adalet hakkında, din hakkında, güzellik, estetik ve bu gibi konular hakkında saatlerce tartışıp fikir birliğine varamayabilirsiniz ancak matematiksel bir tartışmada fikir ayrılıkları kanıtlar ve teoremlerle çözülür. aksiyom ve o aksiyom sonucunda ortaya çıkacak teorem bellidir. sizin neye inandığınızın bir anlamı yoktur. ya doğrusunuzdur ya da yanlış. doğru da olabilir yanlış da olabilir diye bir durum olmaz. hani derler ya "o da kendine göre haklı aslında" diye. matematikte böyle bir cümle yoktur ve matematiğin güzelliği de budur. hatalı olduğunuzda birilerinin size hatanızı göstermesi kolaydır ve siz o hatayı bir kere gördüğünüzde reddetmek için bahane uyduramazsınız.
bu konuyla ilgili daha detaylı okuma için:
22. i sayısının kökü nedir?
açıklama: oldukça basit bir soru. bize hangi sayıyı kendisiyle çarparsak -1 sayısının köküne ulaşacağımızı soruyorlar. bu durumda -1 sayısının kökü (-1)^1/2 olduğuna göre bu sayının kökü de (-1)^(1/2)^(1/2) olacaktır değil mi? oldukça basit ama hiçbir işe yaramaz.
şöyle düşünelim.
siz dünyanın en prestijli okullarından birinin matematik bölümüne başvuru yapıyorsunuz ve mülakatta size " 1+1 işleminin sonucu nedir" sorusu soruluyor. sizce de karşınızdaki kişi sizin 2 cevabını verip veremeyeceğinizi mi ölçmeye çalışıyor?
durum aslında sizin matematiğe bir algoritma gibi mi yaklaştığınızı yoksa kavramların özlerini anlayarak mı düşündüğünüzü ölçme çabasından ibaret.
i sayısının kökünün i^1/2 olacağını lise birinci sınıfı bitirmiş herhangi biri söyleyebilir zaten. cambridge üniversitesinin size sorduğu soru aslında "i'nin kökü ne demek" sorusudur ve sizin i sayısının kökünü gösterirken karşınızdaki kişiye kompleks sayı kavramını anladığınızı ve bu kavram üzerinden düşünebildiğinizi göstermektir.
bu sorunun cevabını ister şu şekilde trigonometrik fonksiyonlar yardımıyla cevaplayın
ister bu videodaki gibi cebir yoluyla ilerleyin
yapmanız gereken şey i sayısı ile ilgili bildiklerinizi sıralamak değil, kavramlar üzerine derin düşünebilme kapasitesine sahip olduğunuzu gösterebilmek.
56. en sevdiğin sayı hangisi?
açıklama: bu oldukça öznel bir soru ve ben kendimce bu soruyu "sen ne tür düşünen bir insansın" sorusuna benzer bir soru olarak görüyorum.
benim bu soruya cevabım 2 olur. neden 2?
çünkü bizim günlük hayatta kullandığımız matematiğin yarısı 2'den ibarettir. 2 öyle bir asal sayıdır ki, tüm sayıların yarısı bu sayının katlarından oluşur. yani basitçe herhangi bir doğal sayı varsa bu sayı ya 2'nin, ya da başka bir asal sayının katıdır. matematikçiler genel durumlar içinde istisnalar ya da istisnalar içinde genel durumlar arayan insanlardır. 2 tüm asal sayılar içinde bir istisna, tüm sayılar içinden ise belki de en genel sayılardan biridir. bu sebepten bu soruya benim cevabım 2 olur. ancak bu sorunun net bir cevabı olduğunu ve bu soruya vereceğiniz cevabın mülakat kaderini belirleyeceğini düşünmüyorum.
bu noktada toplam 57 soru olduğundan ve her birini cevaplamam bir ömür süreceğinden soruları detaylıca açıklamayı bırakıp dikkatimi çeken birkaç sorudan bahsettim ama aralarında uzun uzun cevaplamaya vaktim olmadığı halde beğendiğim birkaç soru var. örneğin pisagor teoremini kanıtla sorusu hayatı boyunca sanki oldukça basit bir şeymiş gibi a^2 + b^2 = c^2 denklemini kullanan herhangi birini dumura uğratabilecek bir soru. çünkü öklid elementler kitabında bunu yapabilmek için geometriyi tamamen baştan inşa ediyor ve pisagor teoremine kadar gelmesi 47 önerme sürüyor.
elementler'den görsel
siz mülakatta bu soruyu soran kişiye aşağıdaki gibi bir kanıt gösterebilirsiniz ama eğer gerçekten geometrinin özüne hakim değilseniz karşınızdaki kişi size "iyi de açı ne demek", "eşitlik ne demek ki", "açıyı çizgiyle bölünce iki bölümün toplamı nasıl ilk başta bölünen açıya eşit olabilir" dibi sorular sorduğunda adamın karşısında tamamen çaresiz kalabilirsiniz.
soruların birçoğu aslında grafik çizme ya da "şişeyi 4 litre yap" gibi sorular olsa da içlerinde gerçekten ince düşünülmüş birçok soru var. bu tarz üniversitelerin eğitim farkı ve seçim kriterlerini diğerleriyle karşılaştırdığımızda görebileceğimiz düşünce yapısı farklılığı bizlere dünya sıralamasında neden geride olduğumuz hakkında fikir verebilir.
yazının bu noktasına kadar dayanabilen varsa teşekkür ederim.
Cambridge Üniversitesi Hukuk Bölümüne Giriş Mülakatında Sorulan İlginç Soru
