Soyut Bir Kavram Olan Matematik, Somut Şeyleri Nasıl Kağıt Üzerinde Açıklayabiliyor?

matematikte "x", yani çarpı işaretinin 1x1=1 işleminin basit bir gösterimidir. buradaki nokta ve çizgi kurmacasını anlarsak, matematik de çorap söküğü gibi ele geliyor. eğer matematik gibi formal bir bilim dalından bahsedeceksek, arşimet'in, "bana bir dayanak noktası verin, dünyayı yerinden oynatayım" özdeyişini kullanabiliriz. çizgi ve nokta kurmacası bizim matematiği anlamamıza fayda sağlar demek istiyorum.

peki neden artı işaret değil de çarpı işareti ile başladık. bir defa çarpı işaret birbirini dik kesen iki çizginin kesişimleri toplamına olanak sağladığı için önemli. 

lafı fazla uzatmayayım da çarpı işaretinin nasıl da çarpma'nın özü olduğunu şu video'dan anlayalım

i) sayma sistemleri, dört işlem, çarpanlarına ayırma ve modüler aritmetik

eğer bir çarpma işlemini - mesela 65x39 - yukarıdaki yöntemle kağıda döktüğümüzde, belirli bir düzlemde birbirini kesen çizgilerin, kesişim noktalarının yan yana yazılması - aynı hizadaysa dört işlemle toplanarak - yan yana yazıldığını görüyoruz.

sözel olarak anlatması pek güç oldu ama yukarıdaki video bu işlemin mantığını açıklamıştı zaten. işte buradaki örneğimizde 65x39 işlemini, birbirini kesen çizgiler düzlemi şeklinde düzenlediğimizde yan yana basamaklarımızın şu şekilde oluştuğunu göreceğiz.

65x39 işleminde 6'ya a1, 5'e a2 ve 3'e b1, 9'a da b2 diyelim. bu şekilde isimlendirelim. siz de kağıt üzerinde bu işlemi yaparsanız, oluşturduğunuz çizgi kümesine bu şekilde harflendirme yapın.

ilk basamak a1xb1, ikinci basamak a1xb2+b1xa2, üçüncü basamak b1xb2'den oluşur. yani ilk basamak 18, ikinci basamak 54+15, üçüncü basamak ise 45 olur. yani bu işlemin sonucu yan yana 18,69,45'tir. tekrar ediyorum 65x39 işleminin sonucu 18,69,45'tir. şimdi çarpanlara ayırmayı geçtiğimize ve bunu arada fark etmiş olduğunuzu umarak yukarıdaki ifadeye "wtf" nidasıyla yaklaştığınızı düşünüyorum. 

burada da modüler aritmetik devreye giriyor işte. bildiğiniz gibi 10'lu sayma sistemini kullanıyoruz. o yüzden işlemi şu şekilde tamamlayalım. üçüncü basamaktaki 45 sayısının sağdaki rakamı, yani 5 birler basamağımızdır. 4'ü sola atarız, ne etti: 69+4=73. buradaki 3 onlar basamağımızdır ve 7'i sola atarız; ne etti. 18+7=25. bu da yüzler ve binler basamağımızdır. evet şimdi bu basamakları birleştirip nihai sonucumuzu yazalım: 2535. bu da işlemin sonucudur.

matematiği sözel anlatmak hayli zor. umarım sıkılmamışsınızdır. buradaki amacım matematiğin farklı düşünerek, anlamaya çalışıldığında çizgi ve nokta kurmacası ve bunun uzantılarından ibaret olduğudur. yoksa amerika'yı yeniden keşfetmiyoruz yani.

ii) türev ve integral

türev nedir, integral nedir soruları yıllarca kafamızı meşgul etti. pek çokları anlamadı. sıkıldı. şimdi basitçe türevin ve integralin ne olduğunu yukarıdaki mantıkla, yani aldığım destek noktasından yola çıkarak size açıklayayım:

elinizde demir bir çubuk olduğunu varsayın. aslında bu çubuk matematiğin soyut dünyasına uymaz. -bu noktayı açıklayacağım-. ama biz bunun düz bir çizgi olduğunu varsayalım. bu çubuğu dizinize bastırıp bükerseniz, matematik uzayda doğrusal bir denklemin integralini almışsınız demektir. eğer eğik bir çubuğu düzeltir, çekiçle dümdüz yaparsanız da türevini almış olursunuz. birbirinin tersi yani.

paint'e, x ve y koordinatlarını dik kesmeyen düz bir çizgi çizdiğinizi varsayın. bu çizgiye uzaktan bakarsanız kusursuz görünür, ama yakınlaşırsanız, görüntüyü büyütürseniz kare kare olduğunu görürsünüz. işte matematik de türev ve integral konularında çizgilerin, bilgisayar programlarında çizildiği üzere kare kare olduğunu varsayar. burada da eğim konusu devreye girer.

mesela bir parabole çok yaklaşırsak, belirli bir noktada pürüzlülük ve buna bağlı olarak da eğim olduğunu görürüz. iktisat'ta türevi alınan talep doğruları bunun güzel bir örneğidir mesela. kare kare olan bir çizgiyi zımparalamak gibidir türev.

işte pi sayısı da bu yüzden bu kadar ilginç. mesela tanjant ve teğet kavramlarının aynı kelime kökünden geldiğini biliyor muydunuz? bu soyut matematikte işlediğimiz çemberin pürüzlülüğünü göstermekte, pi sayısının sonsuza kadar uzanan basamakları da bize doğanın içindeki muhteşem derinliği müjdelemektedir.

iii) fraktal geometri, cantor tozu

türev ve integral de biraz kafalar karışmış olabilir. fraktal geometri bunu düzeltecektir. fraktal geometri, benoit mandelbrot'nun 1960'lı yıllarda ortaya koyduğu muhteşem bir kavrayış. ingiltere'nin kıyı şeridinin uzunluğundan yola çıkarak modern matematiğe yeni bir soluk getirdi. bakın nokta ve çizgi kurmacasından nerelere geldik. mandelbrot şunları ortaya koymuş:

mandelbrot'nun kendi kendine sorduğu şu soru, daha sonraki çalışmalarını yönlendiren temel işlev olmuştur: "ingiltere kıyılarının uzunluğu nedir?" "bu sorunun yanıtı kullanmakta olduğunuz ölçüm aracının uzunluğuna bağlıdır." diyordu mandelbrot. mesela bir metrelik bir pergelin kıyı boyunca yürütüldüğünü düşünün. bulacağınız uzunluk yaklaşık bir değer olacaktır. zira pergel, uzunluğu bir metreden daha kısa olan girinti ve çıkıntıları atlayacaktır. pergeli yarım metreye indirdiğinizde bulacağınız sonuç bir öncekinden daha büyük, daha doğru, ama halen yaklaşık sonuç olacaktır. bu sefer de pergel yarım metreden daha kısa olan girinti çıkıntıları ölçemeyecektir. pergeli daha da küçülttüğünüzde elde edeceğiniz sonuç daha büyük ama halen hatalı bir değerdir. 

bu zihinsel deneyi sonsuza kadar götürdüğünüzde ilginç ortaya ilginç sonuçlar çıkar. sahil şeridi öklid geometrisine uygun olsa idi (örneğin çember), pergel küçüldükçe yapılacak ölçüm gerçekten de çemberin çevresine eşit olacaktı. ama sahil şeridi mandelbrot'un öngördüğü şekilde ise ölçek atom boyutlarına inene kadar bulunan uzunluk sürekli artmaya devam eder, ancak atom ölçeğinde sonlu bir değere gidebilir. dikkat edilirse, cantor tozu'nda olduğu gibi burada da ölçü biriminden (bir anlamda gözlem boyutundan) bağımsız olarak hata halen mevcuttur.

mandelbrot'nun bir sonraki sorusu ise şu olmuştur: "bir iplik yumağının boyutu nedir?" 

uzaktan bakıldığında yumak bir noktadan ibarettir, yani boyutu sıfırdır. daha yakından yapılan gözlemlerde yumak yüzeyinde düzensizlikler bulunan bir küre gibidir. boyut sayısı üçe çıkmıştır. daha yakından bakıldığında yumağı oluşturan tek boyutlu iplik ayrık olarak gözlemlenebilir. tek boyutlu ipliğe büyüteçle bakıldığında iplik üç boyutlu sütunlar gibi görülür. mikroskop altında sütunlar tek boyutlu liflere, lifler ise sonunda boyutsuz noktalara dönüşmektedir. o halde, yumağın gerçek boyutu nedir?

mandelbrot, bir birim cinsinden ölçülemez olan cisimlerin bir pütürlülük derecesine sahip olduğunu ve bu pütürlülük derecesini ölçmenin bir yolunu bulmuştur. mandelbrot'ya göre ölçek değiştiğinde düzensizlik derecesi sabit kalmaktaydı. 1975 yılında mandelbrot pütürlülük derecesinin ismini de koymuş oldu: fraktal boyut. pütürlülük özelliği gösteren cisimler de fraktallar adını aldı.

işte matematik'in geldiği nokta da budur. umarım sözel olarak açıklayabildiğim kısımda sizleri sıkmadım. eğer anlamadığınız noktalar olmuşsa size yalnızca şunu söyleyebilirim: ekonomistler her zaman arz-talep denklemlerini kullanırlar. siz de ilk videodaki yöntemi her zaman aklınızda tutup, matematik üzerine düşünün. matematiğin her alanına yavaş yavaş adımlar atacaksınız.

elbette sözlük'te yazılan şuncacık yazı zayıf kalacaktır ama matematik'te anlayamadığı derin bir algı eksikliği olan çokça insanın aklında bir fikir kıvılcımı uyandırabilir. bu açıdan yazdım yukarıdakileri. matematik denizine bir bakış olsun diye.

have fun