Tarihte Aritmetik Kuramını Yeniden Şekillendiren Olay: Russell Paradoksu

ingiliz matematikçi filozof bertnard russell'in 1902 yılında alman matematikçi frege'ye yolladığı mektup ile ortaya attığı paradoks. frege'nin yazdığı "aritmetiğin temelleri" adlı eseri çok beğenen tıfıl matematikçi russell kağıda beğenilerini döşenip yolladığı mektubun içerisinde yakaladığı paradokstan bahsetmiştir. hayatını bu kitabı yazmaya adamış frege için büyük, tarifi zor olan bi kapak olmuştur. işin kötüsü mektup kitabın devamını yazıp bitirdiği sırada tam yayına hazırlarken gelmiş garibana. cevap mektubunda bu hayal kırıklığını şöyle bildirmiştir russell'a:

"bulduğunuz çelişki beni çok büyük şaşkınlığa - belki büyük üzüntüye demek daha doğru olur - uğrattı, çünkü, aritmetik kuramını dayandırdığım temeli sarstı. bana öyle geliyor ki [...] beşinci kuralım yanlış (20. bölüm, sayfa 36), 31. bölümde sunduğum açıklamalar yeterli değil. durum öylesine ciddi ki, 5. kuralın yanlışlığı , salt öne sürdüğüm temeli sarsmakla kalmıyor, galiba aynı zamanda aritmetiğin sağlam bir temele dayandırılamayacağını da gösteriyor."

kitabı baştan yazmaya yeterli vakti ve gücü olmayan frege ikinci kitabın sonuna bir son söz ekleyerek paradokstan bahsetmiştir.

russell paradoksu kısaca şöyledir

küme kavramı yunanlılardan beri kullanılan bilinen bir kavram olmakla beraber daha sonra alman matematikçi georg cantor kavrama matematiksel terimlerle bir açıklık getirmiştir. yine de bir nesnenin kendi başına küme olabilmesi daha bir koşula bağlanmadığı zamanlardan bahsediyorum. yani açıkçası matematikçilerin -ha lan küme işte sikko bişey diyerek pek siklemedikleri kafa yormadıkları bakir bir kavram denilebilir. bu paradoks ortaya çıkana kadar her önüne gelene küme demek adet olmuş, terbiyesizlik yapılmış, adam olunmamıştır. tam sayılar kümesi, çift sayılar kümesi, armutlar, sarışınlar kümesi, esmerler, kızıl saçlılar, yuvarlak memeler, oval kalçalar -uuu beybi güzel bi hareketlenme oldu..-

genel kullanıma göre her topluluk genel bir küme oluşturma kapasitesine sahiptir. hatta kümeler topluluğu bile. aritmetiğin zırt dediği yerde bu noktada ortaya çıkmıştır.

zira bir küme ele alalım. bu kümenin elemanları farklı özellikte başka bir küme de meydana getirebilir. eğer bu küme bütün kümeleri içerirse tüm kümeler kümesi olur ve yine kendi kendisinin bir alt kümesi olur.

mesela güzel kızlar kümesini ele alırsak lokomotif gülşen, çıtı pıtı birsen, cici bici ebru, esmer banu da elemanları olsun. burda güzel kızlar kümesinin elemanları bu fıstıklardan oluşuyor ama "güzel kızlar" kendisi bir güzel kız değil ,bir sıfat, isim her neyse.. ama bir öğe değil. şartlar böyleyken de küme kendisini içeremiyor. burda yeni bir küme elde ettik "kendini içermeyen kümeler kümesini"

şimdi soru şu "kendini içermeyen kümeler kümesi" kendini içerir mi?

içerir desek olmaz kendini içermiyor, içermez desek olmaz kümenin öğelerini seçtiğimiz kurala göre kendini içermesi lazım. her iki durumda da bir can sıkıntısı, sikişsel bir açmaz, bir çelişki elde ettik.

paradoksu da ortadan kaldıran yine (bkz: tipler kuramı) ile bertrand russel'ın kendisi olmuştur. bu kuram ile russell kümeleri derecelendirmiştir. mesela üçüncü dereceden bir kümeyi tanımlamak için ancak birinci ve ikinci dereceden bir küme kullanılabilir. böylece en başta sözü edilen tüm kümeler denen zırvalık ortadan kalkar.