Entrika Dolu Bir Dedektiflik Sorusu: Elmaları Kim Çaldı?
bugün bir matematik forumunda boş boş gezerken karşılaşıp "aa ben bunun aynısının türkçesini bir yerde görmüştüm" dememe sebep olup, kendisini çözdüren bir soru bu.
sorunun ingilizcesinde çocukların ismi henry falan olduğundan kulağa tanıdık gelmediği için çocukların ismini yerelleştireceğim.
sorumuz şu şekilde
6 çocuk içinden 2 tanesi gitmiş, bir bahçeden elma çalmış. ancak bahçe sahibi çocukların elma çalmasından pek hoşlanmadığı için hangi ikisinin çaldığını anlayabilmek için tutmuş, yakaladığı beş çocuğu sorguya çekmiş. sorguya çekilmeyen 6. çocuk kaçmayı başarmış.
çocuklar aralarında kavga etmiş olsalar gerek, hepsi birbirine iftira atmış. her çocuk 2 isim vermiş ve 5 çocuktan 4 tanesi bir ismi doğru söylerken diğer isme iftira atmış, 5. çocuk ise iki kişiye birden iftira atmış.
çocukların ismi mahmut, hüso, cabbar, neco, pakize ve rüştü olsun.
şimdi çocukların ifadelerini alalım:
pakize: "mahmut ve hüso çaldı"
rüştü: "cabbar ve neco çaldı"
cabbar: "mahmut ve neco çaldı"
hüso: "mahmut ve pakize çaldı"
mahmut: "cabbar ve rüştü çaldı"
kaçan çocuk neco olduğu için neco'nun ifadesi alınmamış.
bu durumda iki hırsız kimdir?
sorunun cevabını bulabilmek için çocukların isimlerini kısaltıp her birine baş harfi ile seslenelim
mahmut = m
hüso = h
cabbar = c
neco = n
pakize = p
rüştü = r
şimdi her bir çocuğa 0 veya 1 değerlerinden birini verelim. mesela mahmut elmayı çaldıysa m=1 olsun, çalmadıysa da m=0 olsun.
çocuklardan 2 tanesinin elmayı çaldığını biliyoruz.
demek ki -> m+h+c+n+p+r = 2
çocuklardan 4 tanesinin birer doğru ve bir tanesinin de sıfır doğru isim verdiğini biliyoruz. bu durumda verilen bütün isimleri toplarsak sonucun 4 çıkacağından eminiz. her çocuğun isminin kaç kere verildiğini sayıp buna göre toplama yapalım:
3m + 2n + 2c + h + p + r = 4
şimdi ilk başta yaptığımız m+h+c+n+p+r işlemini ikinci işlemden çıkaralım:
(3m+2n+2c+h+p+r) - ( m+h+c+n+p+
r) = 2m+n+c = 2
böylelikle:
2m + n + c = 2
yani mahmut'u 2 kere, neco'yu 1 kere ve cabbar'ı da 1 kere sayarsak sonuç 2 çıkıyor.
bu üç kişiden elmayı çalan 2 kişinin değeri 1, masum olan kişinin değeri 0 olacaktır.
bu durumda eşitliğin korunabilmesi için ya m=1 ve c=n=0 olacak, ya da m=0 ve c=n=1 olacak.
rüştü'nün dediğini hatırlayalım:
rüştü bize cabbar ve neco çaldı demişti. bütün çocukların her birinin söylediklerinden en fazla 1 tanesinin doğru olabileceğini bildiğimize göre cabbar ve neco ikilisinin aynı anda hırsız olamayacağını biliyoruz.
demek ki 2m+n+c=2 denkliği mahmut'un 1'e eşit olduğu bir denklik.
yani hırsızlardan biri mahmut.
mahmut'un hırsız olduğunu bilmemiz bizim mahmut'u söyleyen kişilerin diğer söyledikleri kişiye iftira attığını anlamamızı sağlar. yani eğer bir kişi "mahmut ve şu kişi" çaldı demişse "şu kişi" suçsuzdur çünkü mahmut'un suçlu olduğunu biliyoruz ve yalnızca biri suçlu olabilir.
mahmut'u söyleyenlere bakalım:
pakize " mahmut ve hüso çaldı", hüso " mahmut ve pakize çaldı", cabbar ise "mahmut ve neco çaldı" demiş.
bu durumda hüso, pakize ve neco'nun suçsuz olduğunu anlamış oluruz.
böylelikle şimdiye kadar suçsuz olanlar: hüso, pakize, neco ve cabbar.
geriye mahmut ve rüştü kalıyor.
demek ki hırsız mahmut ve rüştü.
...
üç beş elma için ortalığı bu kadar karıştıran, çocukların arasına fesat sokan, bizleri de burada hesap kitapla uğraştıran bahçe sahibine de selamlar!
sorunun tartışıldığı forum: mathstackexchange
Topolojinin Doğuşuna Kapı Açan Ünlü Matematik Problemi: Königsberg Köprüleri
